Ebook: Vorlesungen über Zahlentheorie

Meine Zahlentheorievorlesung des vergangenen Wintersemesters, deren Niederschrift ich hiermit dem mathematischen Publikum unter­ breite, hatte zwei Ziele. Das erste war, die Rechenfertigkeit meiner Hörer zu verbessern. Dabei meine ich mit Rechenfertigkeit nicht etwa Rechenschnelligkeit, die im Rechenunterricht der Schule, wie ich. wiederum durch meine Kinder weiß, allzusehr in den Vordergrund gerückt wird. Rechenfertigkeit sollte zu allererst Rechensicherheit mit sich bringen, denn Schnelligkeit bedeutet gar nichts, wenn das Ergeb­ nis falsch ist. Man sollte sich also Zeit lassen beim Rechnen. Man sollte sich Rechenaufgaben erst einmal ansehen, bevor man anfängt zu rechnen. Denn Zahlen sind Individuen, und ein geschickter Rechner wird ihre individuellen Eigenschaften bei der Rechnung nutzen. Re­ chenfertigkeit heißt also auch, daß man Rechenvorteile erkennt und nutzt. Das fängt schon damit an, daß man den Malpunkt zwischen zwei Zahlen nicht als zwingenden Befehl auffaßt, die Multiplikation auch wirklich auszuführen. (Wer glaubt, so etwas brauche man nicht zu erwähnen, der beobachte einmal, wie viele überflüssige Rechnungen Kinder machen, wenn sie Brüche addieren, multiplizieren oder der Größe nach vergleichen. ) Solcherlei predige ich immer wieder meinen Kindern, und solcherlei wollte ich auch den Hörern meiner Vorlesung nahebringen. Hierzu gehört natürlich auch zu zeigen, wie man Sätze der Zahlentheorie benutzen kann, um zu numerischen Resultaten zu kommen. Daß dies möglich ist, ist schließlich nicht verwunderlich, entstand doch ein großer Teil der Zahlentheorie aus den Bedürfnissen der Rechenpraxis; man denke etwa an Euler, der z. B.

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Content:
Front Matter....Pages 1-9
Die Algorithmen von Euklid und Berlekamp....Pages 11-15
Der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung....Pages 16-17
Z ist Hauptidealring....Pages 18-20
Ein Satz von Kaplansky....Pages 21-22
Das Sieb des Eratosthenes....Pages 23-25
Quadrattafeln....Pages 26-31
Der chinesische Restsatz....Pages 32-38
Teilbarkeitskriterien....Pages 39-41
Rationale Zahlen....Pages 42-44
Das Gaußsche Lemma....Pages 45-49
Quadratische Zahlkörper....Pages 50-55
Der euklidische Algorithmus....Pages 56-58
Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen....Pages 59-62
Die Einheitengruppe von Ad für d > 0....Pages 63-65
Kettenbrüche....Pages 66-70
Zwei Beispiele....Pages 71-72
Die modulare Gruppe als Operatorgruppe auf der Menge der Irrationalzahlen....Pages 73-74
Reelle Wurzeln quadratischer Gleichungen....Pages 75-80
Die Berechnung der Fundamentaleinheit....Pages 81-83
Das quadratische Reziprozitätsgesetz....Pages 84-87
Back Matter....Pages 88-94
....Pages 95-103