Ebook: Stochastische Matrizen

In der Anfängervorlesung "Lineare Algebra" lernt der Student ein umfang­ reiches System von Begriffen und Ergebnissen kennen. Auf die Bedeutung dieser Theorie für die ganz"e t1athematik wird er zwar oft hingewiesen, aber vorgeführt werden meist nur Anwendungen aus der Geometrie. Das vorliegende kleine Heft ist äer Versuch, ein anderes Gebiet für die Motivierung der Anfängervorlesung zu erschließen, nämlich die Theorie der stochastischen Prozesse mit endl~ch vielen Zuständen in matrizen­ theoretischer Behandlung. Unsere Darstellung steht zwischen den sehr elementar gehaltenen Büchern (mitunter mit dem Titel "Finite Mathema­ tics"), die zum Teil für Nichtmathematiker geschrieben sind und nur Elemente der Linearen Algebra verwenden, und den allgemeinen Theorien der stochastischen Prozesse, welche dem endlichen Spezialfall oft wenig Raum widmen. Sie stützt sich weitgehend auf die Betrachtung der Eigen­ werte von stochastischen Matrizen. Obwohl die Bestimmung der Eigenwerte nicht direkt ein Teil des Problems ist, scheint uns das Studium der Eigenwerte den besten Aufschluß über das Verhalten der Potenzen einer stochastischen Matrix zu geben. (Wir sind uns dessen bewußt, daß diese Methode freilich für stochastische Prozesse mit unendlich vielen Zustän­ den völlig versagt. ) Nach der Erörterung der Problemstellung und einigen Beispielen in § 1 werden in § 2 alle später benötigten Aussagen über die Eigenwerte von stochastischen Matrizen hergeleitet. Darauf folgen dann in § 3 leicht die Konvergenzsätze. In § 4 behandeln wir weitere Sätze über die Eigen­ werte von stochastischen Matrizen, die jedoch später kaum mehr verwen­ det werden.

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Content:
Front Matter....Pages I-IX
Problemstellung....Pages 1-8
Eigenwerte stochastischer Matrizen....Pages 9-29
Die Konvergenzs?tze....Pages 30-50
Weitere Eigenwertabsch?tzungen f?r stochastische Matrizen....Pages 51-65
Irrfahrten und verwandte Probleme....Pages 66-79
Mischen von Spielkarten....Pages 80-90
Warteschlangen....Pages 91-109
Prozesse mit absorbierenden Zust?nden....Pages 110-130
?bergangszeiten....Pages 131-147
Abgeleitete stochastische Matrizen....Pages 148-191
Back Matter....Pages 193-196

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Content:
Front Matter....Pages I-IX
Problemstellung....Pages 1-8
Eigenwerte stochastischer Matrizen....Pages 9-29
Die Konvergenzs?tze....Pages 30-50
Weitere Eigenwertabsch?tzungen f?r stochastische Matrizen....Pages 51-65
Irrfahrten und verwandte Probleme....Pages 66-79
Mischen von Spielkarten....Pages 80-90
Warteschlangen....Pages 91-109
Prozesse mit absorbierenden Zust?nden....Pages 110-130
?bergangszeiten....Pages 131-147
Abgeleitete stochastische Matrizen....Pages 148-191
Back Matter....Pages 193-196
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