Ebook: Keine Probleme mit Inversen Problemen: Eine Einführung in ihre stabile Lösung

Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie häufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schließen möchte, liegt ein inverses Problem vor. So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von Röntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher Körper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel stellt die Ultraschall-Tomographie dar: hier wird die Streuung von Schallwellen an einem Objekt beobachtet, hervorgerufen durch die Form des Objekts, auf die man schließen möchte. Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu lösen. Diese Gleichungen sind typischerweise schlecht gestellt, d.h. kleine Änderungen (z.B. Messfehler) in den Wirkungen ziehen große Änderungen in den zugehörigen Ursachen nach sich. Diese Fehlerverstärkung muss im Lösungsprozess durch geeignete Maßnahmen gedämpft werden: inverse Probleme müssen regularisiert (stabilisiert) werden. Das vorliegende Lehrbuch führt umfassend ein in die mathematischen Grundlagen zur stabilen Lösung inverser Probleme, zielt dabei aber auch auf konkrete Anwendungen ab. Es eignet sich als Grundlage für eine vierstündige Vorlesung und zum Selbststudium, das durch zahlreiche Übungen unterstützt wird.

---

Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie h?ufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schlie?en m?chte, liegt ein inverses Problem vor. So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von R?ntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher K?rper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel stellt die Ultraschall-Tomographie dar: hier wird die Streuung von Schallwellen an einem Objekt beobachtet, hervorgerufen durch die Form des Objekts, auf die man schlie?en m?chte. Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu l?sen. Diese Gleichungen sind typischerweise schlecht gestellt, d.h. kleine ?nderungen (z.B. Messfehler) in den Wirkungen ziehen gro?e ?nderungen in den zugeh?rigen Ursachen nach sich. Diese Fehlerverst?rkung muss im L?sungsprozess durch geeignete Ma?nahmen ged?mpft werden: inverse Probleme m?ssen regularisiert (stabilisiert) werden. Das vorliegende Lehrbuch f?hrt umfassend ein in die mathematischen Grundlagen zur stabilen L?sung inverser Probleme, zielt dabei aber auch auf konkrete Anwendungen ab. Es eignet sich als Grundlage f?r eine vierst?ndige Vorlesung und zum Selbststudium, das durch zahlreiche ?bungen unterst?tzt wird.

---

Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie h?ufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schlie?en m?chte, liegt ein inverses Problem vor. So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von R?ntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher K?rper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel stellt die Ultraschall-Tomographie dar: hier wird die Streuung von Schallwellen an einem Objekt beobachtet, hervorgerufen durch die Form des Objekts, auf die man schlie?en m?chte. Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu l?sen. Diese Gleichungen sind typischerweise schlecht gestellt, d.h. kleine ?nderungen (z.B. Messfehler) in den Wirkungen ziehen gro?e ?nderungen in den zugeh?rigen Ursachen nach sich. Diese Fehlerverst?rkung muss im L?sungsprozess durch geeignete Ma?nahmen ged?mpft werden: inverse Probleme m?ssen regularisiert (stabilisiert) werden. Das vorliegende Lehrbuch f?hrt umfassend ein in die mathematischen Grundlagen zur stabilen L?sung inverser Probleme, zielt dabei aber auch auf konkrete Anwendungen ab. Es eignet sich als Grundlage f?r eine vierst?ndige Vorlesung und zum Selbststudium, das durch zahlreiche ?bungen unterst?tzt wird.

Content:
Front Matter....Pages i-xiv
Einf?hrung: Was ist ein inverses Problem?....Pages 1-19
Schlecht gestellte Operatorgleichungen....Pages 20-51
Regularisierung linearer Probleme und Optimalit?t....Pages 52-92
Tikhonov—Phillips-Regularisierung....Pages 93-105
Iterative Regularisierungen....Pages 106-152
Diskretisierung und Regularisierung....Pages 153-222
Nichtlineare schlecht gestellte Probleme....Pages 223-274
Anhang: Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis....Pages 275-287
Back Matter....Pages 288-302

---

Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie h?ufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schlie?en m?chte, liegt ein inverses Problem vor. So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von R?ntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher K?rper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel stellt die Ultraschall-Tomographie dar: hier wird die Streuung von Schallwellen an einem Objekt beobachtet, hervorgerufen durch die Form des Objekts, auf die man schlie?en m?chte. Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu l?sen. Diese Gleichungen sind typischerweise schlecht gestellt, d.h. kleine ?nderungen (z.B. Messfehler) in den Wirkungen ziehen gro?e ?nderungen in den zugeh?rigen Ursachen nach sich. Diese Fehlerverst?rkung muss im L?sungsprozess durch geeignete Ma?nahmen ged?mpft werden: inverse Probleme m?ssen regularisiert (stabilisiert) werden. Das vorliegende Lehrbuch f?hrt umfassend ein in die mathematischen Grundlagen zur stabilen L?sung inverser Probleme, zielt dabei aber auch auf konkrete Anwendungen ab. Es eignet sich als Grundlage f?r eine vierst?ndige Vorlesung und zum Selbststudium, das durch zahlreiche ?bungen unterst?tzt wird.

Content:
Front Matter....Pages i-xiv
Einf?hrung: Was ist ein inverses Problem?....Pages 1-19
Schlecht gestellte Operatorgleichungen....Pages 20-51
Regularisierung linearer Probleme und Optimalit?t....Pages 52-92
Tikhonov—Phillips-Regularisierung....Pages 93-105
Iterative Regularisierungen....Pages 106-152
Diskretisierung und Regularisierung....Pages 153-222
Nichtlineare schlecht gestellte Probleme....Pages 223-274
Anhang: Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis....Pages 275-287
Back Matter....Pages 288-302
....