Ebook: Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques

Ce texte est une introduction à l'étude des groupes de Lie, destinée à des
étudiants de maîtrise et de l'agrégation. C'est un bon ouvrage de référence
pour les propriétés les plus fondamentales concernant les groupes classiques,
qui n'existait pas jusqu'à présent.

Les auteurs y introduisent toutes les notions de base de la théorie des groupes
de Lie et donnent de nombreux exemples permettant de comprendre ces
notions. Ce livre est une aide précieuse pour tout mathématicien désirant
aborder les recherches les plus récentes sur les groupes de Lie.

Table des matières
Introduction
1. Les premières propriétés des groupes GL (n, K) (K = IR ou €) 11
1.1. Introduction 11
1.2. Normes sur Mn (K) 11
1.3. La topologie de GL (n, K) 12
1.4. Densité de GL (n5 K). Applications 14
1.5. Connexité 17
1.6. La décomposition polaire de GL (n, M) 18
1.7. La décomposition polaire dans GL (n, (E) 20
Exercices 21
2. Groupes topoiogiques opérant sur un ensemble. Application à l'étude de la
topologie de GL (n, K) 27
2.1. Introduction 27
2.2. Groupes opérant sur un ensemble ; aspect algébrique 27
2.3. Groupes opérant sur un ensemble ; aspect topologique 28
2.4. Propriétés des groupes topologiques 30
2.5. Démonstration du théorème 2.3.2. 33
2.6. Applications 33
2.7. Etude d'ensembles de matrices définis par des conditions sur
le polynôme minimal 37
2.8. Décompositions 44
Exercices 50
3. La fonction exponentielle. Applications 57
3.1. Introduction 57
3.2. Définition et premières propriétés 57
3.3. Inversion de l'exponentielle 58
3.4. Etude des sous-groupes fermés de GL (n, K) 64
3.5. Groupes pseudo-algébriques 71
3.6. Théorème de point fixe de Kakutani. Mesure de Haar sur
un groupe compact 73
3.8. Groupes algébriques 77
3.8. Différentielle de l'exponentielle. Applications 78
3.9. Etoile d'un groupe linéaire réel relative à un plongement 84
3.10. Sous-algèbres de Car tan 89
Exercices 93
4. Etude des groupes orthogonaux 105
4.1. Introduction 105
4.2. Réduction de l'étude de 0 (p, q) à celle de 0 (n) 105
4.3. Composante neutre de 0 (p,q) ;le groupe orthochtone S00(p,q) 106
4.4. Rappels : homotopie et groupe fondamental 109
4.5. Le revêtement SU (2) -» SO (3) 125
4.6. Groupe fondamental de SO (n) 127
4.7. Algèbres de Clifford ; groupe des spineurs 129
4.8. Groupe fondamental de O (p, q) 136
4.9. Topologie et structure du groupe SO (4) 137
4.10. Structure différentiable de l'espace homogène G/jj 143
Appendice 4.A. : Fibrations 155
Appendice 4.B. : Sous-groupes de Lie, sous-algèbres de Lie 166
Appendice 4.C. : La formule de Campbell-Hausdorff 171
Exercices 175
5. Etude des groupes unitaires ; géométries réelle et symplectique
associées 185
5.1. Introduction 185
5.2. Etude de U(n) 185
5.3. Etude de U (p, q) 188
5.4. Un théorème de H. Weyl sur les fonctions analytiques sur GL (n, 5.5. Espaces vectoriels réels et complexes 192
5.6. Produits scalaire et symplectique associés à un produit hermitien 196
5.7. L'ensemble H des structures hermitiennes associées à un
espace symplectique 199
5.8. L'espace affine Lp - 203
5.9, Structure de l'espace £ (V) des lagrangiens de V 205
Appendice 5.A. : l'ensemble des structures hermitiennes associées à
un espace euclidien de dimension 2n 209
Appendice 5.B. : formes quadratiques sur un espace vectoriel complexe 210
Exercices 217
6. Etude des groupes symplectiques 225
6.1. Introduction 225
6.2. Etude du groupe Sp (n, Ht) 225
6.3. L'ensemble H des structures hermitiennes complexes (cf. 5.7.)
une autre approche 229
6.4. Etude de LF 230
6.5. Etude de Sp (n, €) 232
6.6. L'espace des lagrangiens d'un espace symplectique complexe
de dimension 2n 234
6.7. ' Les groupes de petite dimension 235
6.8. Centralisateurs et connexité 243
Appendice 6.A. : espaces symétriques 246
Exercices 271
7. Intégration sur les variétés. Polynômes harmoniques 277
7.1. Introduction 277
7.2. Orientations et intégrations sur un espace vectoriel V de
dimension finie 277
7.3. Variétés orientables : définitions et exemples 281
7.4. Formule de changement de variables : commentaires et applications 291
7.5. Intégration sur les variétés riemaniennes 29 5
7.6. Variétés à bord. Formule de Stokes 304
7.7. L'espace L2 (Sn_1) et les polynômes harmoniques 311
Exercices 320
Problèmes 325
Index terminologique 335
Index des notations 338
Bibliographie 340
Table des matières 343