Ebook: Analysis 1 + 2: Ein Wegweiser zum Studienbeginn

​​Dieses Buch ist entstanden aus Vorlesungen an der Technischen Universität München und behandelt im Wesentlichen die Themen, die üblicherweise Gegenstand der Vorlesungen "Analysis" der ersten beiden Semester im Bachelor-Studium der Mathematik und Physik sind. Dazu zählen neben den grundlegenden Bausteinen der eindimensionalen Analysis, wie Konvergenz, Stetigkeit, Differentiation, Integration, auch eine Einführung in die Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen, der Begriff der Konvergenz in metrischen Räumen sowie elementare Lösungsmethoden von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Das Buch zeichnet sich aus durch zahlreiche motivierende Beispiele, ohne dass dabei die nötige mathematische Präzision zu kurz kommt. Es eignet sich hervorragend sowohl als Nachschlagewerk als auch als Begleitlektüre zur Vorlesung.

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Ausgehend von Vorlesungen an der TU München werden in dem Band die Inhalte der Analysis im 1. und 2. Semester des Mathematik- und Physik-Bachelor-Studiums komplett behandelt. Dazu zählen neben den Grundlagen der eindimensionalen Analysis auch eine Einführung in die Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen, der Begriff der Konvergenz in metrischen Räumen sowie elementare Lösungsmethoden von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Das Buch bietet motivierende Beispiele und eignet sich sowohl als Nachschlagewerk wie auch als Begleitlektüre zur Vorlesung. Table of Contents Cover Analysis 1 + 2 - Ein Wegweiser zum Studienbeginn ISBN 9783642286438 eISBN 9783642286445 Vorwort Inhaltsverzeichnis Einleitende Anmerkungen 1 Die reellen Zahlen 1.1 Archimedisch angeordnete Körper 1.2 Intervallschachtelung und Vollständigkeit 1.3 Supremumseigenschaft 1.4 Aufgaben 2 Die komplexen Zahlen 2.1 Konstruktion der komplexen Zahlen 2.2 Aufgaben 3 Folgen reller und komplexer Zahlen 3.1 Folgen und Grenzwerte 3.2 Rechnen mit Grenzwerten 3.3 Asymptotische Gleichheit und rekursiv definierte Folgen 3.4 Eine Intervallschachtelung für den Logarithmus 3.5 Aufgaben 4 Metrische Räume und Cauchyfolgen 4.1 Metrische und normierte Räume 4.2 Cauchyfolgen und Vollständigkeit 4.3 Skalarprodukt und Orthogonalität 4.4 Teilfolgen und Häufungswerte 4.5 Aufgaben 5 Reihen 5.1 Konvergenz und absolute Konvergenz 5.2 Konvergenzkriterien 5.3 Umordnungssatz und Cauchy-Produkt 5.4 Potenzreihen 5.5 Exponentialreihe und Eulersche Formel 5.6 Die Räume 5.7 Aufgaben 6 Stetigkeit 6.1 Stetige Abbildungen 6.2 Eigenschaften stetiger reellwertiger Funktionen 6.3 Exponentialfunktion und Logarithmus 6.4 Stetige Funktionen 6.5 Aufgaben 7 Differentiation 7.1 Differenzierbarkeit 7.2 Mittelwertsatz und lokale Extrema 7.3 Ableitung der Umkehrfunktion 7.4 Aufgaben 8 Integration 8.1 Regelfunktionen 8.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 8.3 Methoden zur Berechnung von Integralen 8.4 Uneigentliche Integrale 8.5 Aufgaben 9 Funktionenfolgen und gleichmä ßige Konvergenz 9.1 Gleichmäßige Konvergenz 9.2 Differentiation und Integration von Potenzreihen 9.3 Der Approximationssatz von Weierstraß 9.4 Aufgaben 10 Taylorreihen 10.1 Der Satz von Taylor 10.2 Potenzreihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt 10.3 Der Abelsche Grenzwertsatz 10.4 Aufgaben 11 Fourierreihen 11.1 Trigonometrische Polynome und Fourierkoeffizienten 11.2 Konvergenz nach Dirichlet und Fejér 11.3 Konvergenz im quadratischen Mittel 11.4 Aufgaben 12 Kompaktheit 12.1 Kompakte metrische Räume 12.2 Charakterisierung kompakter Mengen 12.3 Aufgaben 13 Normierte Vektorräume 13.1 Stetige lineare Abbildungen 13.2 Kurven in Vektorräumen 13.3 Aufgaben 14 Totale Differenzierbarkeit 14.1 Totale und partielle Ableitungen 14.2 Richtungsableitungen und Niveaumengen 14.4 Ableitungen höherer Ordnung 14.5 Aufgaben 15 Umkehrsatz und implizite Funktionen 15.1 Invertierbare lineare Abbildungen und Diffeomorphismen 15.2 Lokale Invertierbarkeit 15.3 Implizit definierte Funktionen 15.4 Extrema unter Nebenbedingungen 15.5 Aufgaben 16 Elementar lösbare Differentialgleichungen 16.1 Der Satz von Picard-Lindelöf 16.2 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 16.3 Lineare Systeme von Differentialgleichungen 16.4 Aufgaben Literaturverzeichnis Sachverzeichnis Bezeichnungen und Symbole