Ebook: Géométrie projective

    Rendre claires et séduisantes les démonstrations des grands classiques de la géométrie plane sous l’éclairage de la géométrie projective, tel est l’objectif de ce livre.
    Suivant comme fil conducteur les notions d’homographie et de dualité, Jean-Claude Sidler démontre, dans un langage simple et moderne, des théorèmes d’une grande souplesse et d’une grande fécondité, qui ont pour nom Pappus, Desargues, Pascal, Chasles… Cette approche originale dégage l’essentiel et guide naturellement vers des solutions rapides et élégantes de la plupart des problèmes de géométrie plane.
    Dans cette deuxième édition entièrement revue et corrigée, un complément sur les isométries et les similitudes à été ajoute ainsi que de nouveaux exercices et problèmes corrigés.

Le présent ouvrage offrira une aide précieuse aux étudiants, aux candidats au CAPES et à l’agrégation — voire aux ingénieurs ayant besoin de s’initier aux méthodes projectives — ainsi qu’aux enseignants souhaitant cultiver ou remettre à l’honneur l’enseignement de la géométrie.

===== Table des matières =====

Préface

Avant-propos

Avertissement au lecteur

Chapitre 1 — Généralités sur les espaces projectifs

    1.1 Espace projectif
    1.2 Coordonnées homogènes
    1.3 Cartes affines
        1.3.1 Carte affine d’une droite projective
        1.3.2 Carte affine d’un plan projectif
        1.3.3 Du bon usage d’une carte affine
    1.4 Homographies
        1.4.1 Propriétés générales des homographies
        1.4.2 Repère projectif
    1.5 Birapport de quatre points alignés
        1.5.1 Formules utiles
        1.5.2 Quelques résultats utiles
    1.6 Rapport harmonique de quatre points alignés
    1.7 Dualité dans le plan projectif
        1.7.1 Corrélations
        1.7.2 Propositions duales
    1.8 Birapport de quatre droites concourantes
    1.9 Complexification du plan projectif réel
    1.10 Compléments sur le plan projectif réel

Chapitre 2 — Homographies entre droites projectives

    2.1 Généralités
    2.2 Les projections
        2.2.1 Axe d’homographie
        2.2.2 Construction de l’axe d’une homographie entre droites projectives
    2.3 Expressions analytiques
    2.4 Faisceaux de droites d’un plan projectif
        2.4.1 Projections
        2.4.2 Centre d’homographie
        2.4.3 Homographies entre droites projectives et faisceaux de droites
    2.5 Exercices

Chapitre 3 — Groupe des homographies d’une droite projective

    3.1 Points fixes d’une homographie : définitions et généralités
    3.2 Involutions
    3.3 Propriétés des homographies hyperboliques
    3.4 Homographies paraboliques
    3.5 Homographies elliptiques d’une droite projective réelle
    3.6 Constructions géométriques
    3.7 Théorème duaux
    3.8 Deuxième théorème de Desargues
    3.9 Exercices

Chapitre 4 — Homographies du plan projectif

    4.1 Détermination d’une homographie plane
        4.1.1 Points fixes d’une homographie
        4.1.2 Classification des homographies d’un plan projectif réel
        4.1.3 Droites invariantes d’une homographie plane
    4.2. Les homologies
        4.2.1 Construction géométrique de l’image d’un point par une homologie
        4.2.2 Les homologies dans une carte affine
    4.3 Les transformations affines
    4.4 Les involutions du plan projectif
    4.5 Générateurs du groupe projectif
    4.6 Quelques propriétés classiques
    4.7 Orthogonalité
        4.7.1 Involution canonique
        4.7.2 Points cycliques
    4.8 Similitudes
        4.8.1 Angle de deux droites. Bissectrices
        4.8.2 Déplacements
    4.9 Exercices

Chapitre 5 — Homographies et coniques

    5.1 Description géométrique d’une conique
        5.1.1 Cas particulier où la conique est dégénérée
        5.1.2 Autres formulations du théorème de Chasles-Steiner
        5.1.3 Tangentes à une conique définie par une homographie
        5.1.4 Birapport de quatre points d’une conique propre
        5.1.5 Points conjugués harmoniques sur une conique
    5.2 Homographie d’une conique sur elle-même
        5.2.1 Projection d’une conique sur une droite
        5.2.2 Homographies d’une conique et homographies planes
    5.3 Décomposition d’une homographie. Axe d’homographie
    5.4 Coniques affines
        5.4.1 Arc capable
        5.4.2 Les rotations
        5.4.3 La géométrie de Lobatchevsky
    5.5 Coniques tangentielles
        5.5.1 Transformation par polaire réciproque
        5.5.2 Homographies et coniques tangentielles
        5.5.3 Tangentes à la conique
        5.5.4 Birapport de quatre tangentes à une conique
        5.5.5 Homographie entre les tangentes à une même conique propre
    5.6 Exercices

Chapitre 6 — Faisceaux de coniques dans un plan projectif complexe

    6.1 Les faisceaux de coniques et leur classification
    6.2 Classification des faisceaux non dégénérés du plan projectif complexe
    6.3 Faisceaux et polarité
        6.3.1 Conique des onze points
        6.3.2 Coniques affines
        6.3.3 Conique des neuf points
        6.3.4 Le cercle d’Euler
    6.4 Troisième théorème de Desargues
    6.5 Faisceaux tangentiels
        6.5.1 Classification
        6.5.2 Exemples de faisceaux tangentiels
    6.6 Exercices

Chapitre 7 — Exercices de référence

Chapitre 8 — Problèmes classiques

    8.1 Triangles et cercles. Problèmes classiques sous l’éclairage projectif
    8.2 Lieux et enveloppes
    8.3 Coniques homologiques
    8.4 Quelques cas particuliers du grand théorème de Poncelet
    8.5 Six ou huit points sur une conique
    8.6 Quelques propriétés classiques des coniques affines

Solutions des exercices de fin de chapitre

Appendice — Rappel de quelques définitions

    A.1 Espaces projectifs
    A.2 Équation d’une droite
    A.3 Coniques d’un plan projectif

Bibliographie

Index