Ebook: Représentations linéaires des groupes finis

Introduction du livre par l’auteur :

    Ce livre est formé de trois parties, de niveaux et de buts assez différents :

    La première partie a été écrite à l’usage des chimistes théoriciens. Elle expose la correspondance, due à Frobenius, entre représentations linéaires et caractères. Il s’agit de résultats fondamentaux, d’usage constant aussi bien en mathématique qu’en chimie quantique, ou en physique. J’ai essayé d’en donner des démonstrations aussi élémentaires que possible, n’utilisant que la définition même d’un groupe et les rudiments de l’algèbre linéaire. Les exemples (§ 5) ont été choisis parmi ceux qui sont utiles aux chimistes.

    La deuxième partie est un cours donné en 1966 aux élèves de seconde année de l’École Normale. Elle complète la première sur les points suivants :
a) Degrés des représentations et propriétés d’intégralité des caractères (§ 6).
b) Représentations induites, théorèmes d’Artin et de Brauer, et applications (§§ 7 à 11).
c) Questions de rationalité (§§ 12 et 13).
    Les moyens utilisés sont ceux de l’algèbre linéaire (en un sens plus large que pour la première partie) : algèbres de groupes, modules, produits tensoriels non commutatifs, algèbres semi-simples.

    La troisième partie est une introduction à la théorie de Brauer : passage de la caractéristique 0 à la caractéristique p (et inversement). J’ai utilisé librement le langage des catégories abéliennes (modules projectifs, groupes de Grothendieck), bien adapté à ce genre de question.
    Les principaux résultats sont :
a) Le fait que l’homomorphisme de décomposition est surjectif : toute représentation irréductible de caractéristique p peut être relevée « virtuellement » (i.e. dans un groupe de Grothendieck convenable) en caractéristique 0.
b) Le théorème de Fong-Swan permettant de supprimer le mot « virtuellement » de l’énoncé précédent, pourvu que le groupe considéré soit
p-résoluble.
    J’ai également donné quelques applications aux représentations d’Artin.


===== Table des matières =====

Introduction

I. Représentations et caractères

    § 1. Généralités sur les représentations linéaires
        1.1. Définitions
        1.2. Premiers exemples
        1.3. Sous-représentations
        1.4. Représentations irréductibles
        1.5. Produit tensoriel de deux représentations

    § 2. Théorie des caractères
        2.1. Le caractère d’une représentation
        2.2. Le lemme de Schur; premières applications
        2.3. Les relations d’orthogonalité des caractères
        2.4. Décomposition de la représentation régulière
        2.5. Nombre des représentations irréductibles
        2.6. La décomposition canonique d’une représentation
        2.7. Décomposition explicite d’une représentation

    § 3. Sous-groupes, produits, représentations induites
        3.1. Sous-groupes commutatifs
        3.2. Produit de deux groupes
        3.3. Représentations induites

    § 4. Extension aux groupes compacts
        4.1. Groupes compacts
        4.2. Mesure invariante sur un groupe compact
        4.3. Représentations linéaires des groupes compacts

    § 5. Exemples
        5.1. Le groupe cyclique C_n
        5.2. Le groupe C_∞
        5.3. Le groupe diédral D_n
        5.4. Le groupe D_nh
        5.5. Le groupe D_∞
        5.6. Le groupe D_∞h
        5.7. Le groupe alterné A₄
        5.8. Le groupe symétrique S₄
        5.9. Le groupe du cube

    Bibliographie (Partie I)

II. Représentations en caractéristique zéro

    § 6. L’algèbre du groupe
        6.1. Représentations et modules
        6.2. Décomposition de C[G]
        6.3. Le centre de C[G]
        6.4. Rappels sur les entiers
        6.5. Propriétés d’intégralité des caractères. Applications

    § 7. Représentations induites; critère de Mackey
        7.1. Rappels
        7.2. Caractère d’une représentation induite; formule de réciprocité
        7.3. Restriction aux sous-groupes
        7.4. Critère d’irréductibilité de Mackey

    § 8. Exemples de représentations induites
        8.1. Sous-groupes distingués; applications aux degrés des représentations irréductibles
        8.2. Produits semi-directs par un groupe commutatif
        8.3. Rappels sur certaines classes de groupes finis
        8.4. Théorème de Sylow
        8.5. Représentations linéaires des groupes hyper-résolubles

    § 9. Théorème d’Artin
        9.1. L’anneau R(G)
        9.2. Énoncé du théorème d’Artin
        9.3. Première démonstration
        9.4. Deuxième démonstration de i) ⇒ ii)

    § 10. Théorème de Brauer
        10.1. Éléments p-adiques; sous-groupes p-élémentaires
        10.2. Caractères induits provenant des sous-groupes p-élémentaires
        10.3. Construction de caractères
        10.4. Démonstration des théorèmes 18 et 18'
        10.5. Théorème de Brauer

    § 11. Applications du théorème de Brauer
        11.1. Caractérisations des caractères
        11.2. Un théorème de Frobenius
        11.3. Réciproque du théorème de Brauer
        11.4. Spectre de A ⨂ R(G)

    § 12. Questions de rationalité
        12.1. Les anneaux de R_K(G) et \bar{R}_K(G)
        12.2. Indices de Schur
        12.3. Réalisabilité sur les corps cyclotomiques
        12.4. Rang du groupe R_K(G)
        12.5. Généralisation du théorème d’Artin
        12.6. Généralisation du théorème de Brauer
        12.7. Démonstration du théorème 28

    § 13. Questions de rationalité : exemples
        13.1. Le cas du corps des nombres rationnels
        13.2. Le cas du corps des nombres réels

    Bibliographie (Partie II)

III. Introduction à la théorie de Brauer

    § 14. Les groupes R_K(G), R_k(G) et P_k(G)
        14.1. Les anneaux R_K(G) et R_k(G)
        14.2. Les groupes P_k(G) et P_A(G)
        14.3. Structure de P_k(G)
        14.4. Structure de P_A(G)
        14.5. Dualités
        14.6. Extension des scalaires

    § 15. Le triangle cde
        15.1. Définition de c : P_k(G) → R_k(G)
        15.2. Définition de d : R_K(G) → R_k(G)
        15.3. Définition de e : P_k(G) → R_K(G)
        15.4. Premières propriétés du triangle cde
        15.5. Exemple : le cas des p'-groupes
        15.6. Exemple : le cas des p-groupes
        15.7. Exemple : produits de p'-groupes et de p-groupes

    § 16. Théorèmes
        16.1. Propriétés du triangle cde
        16.2. Caractérisation de l’image de e
        16.3. Caractérisation des A[G]-modules projectifs par leur caractère
        16.4. Exemples de A[G]-modules projectifs : représentations irréductibles de défaut nul

    § 17. Démonstrations
        17.1. Changement de groupe
        17.2. Le théorème de Brauer dans le cas modulaire
        17.3. Démonstration du théorème 33
        17.4. Démonstration du théorème 35
        17.5. Démonstration du théorème 37
        17.6. Démonstration du théorème 38

    § 18. Caractères modulaires
        18.1. Le caractère modulaire d’une représentation
        18.2. Indépendance des caractères modulaires
        18.3. Traductions
        18.4. Une section de d
        18.5. Exemple : caractères modulaires du groupe symétrique S₄
        18.6. Exemple : caractères modulaires du groupe alterné A₄

    § 19. Application aux représentations d’Artin
        19.1. Représentations d’Artin et de Swan
        19.2. Rationalité des représentations d’Artin et de Swan
        19.3. Un invariant

    Annexe

    Bibliographie (Partie III)

Index des notations
Index terminologique