Ebook: Géométrie analytique classique

Quatrième de couverture :
    La lecture des programmes de mathématiques de nos lycées et collèges, voire de nos universités, pourrait laisser penser que la Géométrie est sur le déclin. Ce livre prouve brillamment qu’il n’en est rien. La «Géométrie des Grecs» est au contraire toujours aussi resplendissante. Si «géomètre» a certes cessé d’être synonyme de «mathématicien», la Géométrie reste plus que jamais la discipline reine des mathématiques, et la chronique royale que nous en donne ici Jean-Denis Eiden montre qu’elle n’est pas près d’abdiquer. Source irremplaçable pour l’intuition scientifique, la Géométrie a su préserver l’héritage façonné par ses maîtres d’œuvre, de l’Antiquité à nos jours, tout en s’enrichissant des apports de l’Algèbre et de l’Analyse. Qui dit géométrie dit bien sûr figures, et le lecteur ne pourra qu’être fasciné par celles dont ces pages sont parsemées. Réalisées avec les outils très puissants que nous offre l’informatique, elles contribuent à montrer combien vaine serait l’idée de réduire la géométrie à de l’algèbre, si raffinée soit-elle. Pour nous emmener à la conquête des droites, des triangles, des cercles, des coniques, l’auteur n’exige de nous que l’équipement minimal. Les concepts indispensables sont introduits au fur et à mesure, sans recherche gratuite de généralité. Les approfondissements ne sont suggérés qu’en seconde lecture, et seulement s’ils permettent de donner à une notion un nouvel éclairage ou d’illustrer un principe général important.

    Avec rigueur et clarté, dans une langue impeccable qu’il manie avec un grand talent, Jean-Denis Eiden s’adresse évidemment avant tout aux amoureux de la géométrie, mais aussi à beaucoup de ceux qui ne le seraient pas encore… Son livre sera très utile aux étudiants de Licence, ainsi qu’aux candidats au CAPES ou à l’agrégation, qui y trouveront matière à donner de la chair à des leçons de géométrie, ou à illustrer des leçons d’algèbre avec des applications originales.


    Ancien élève de l’ÉNS de Saint-Cloud et agrégé de mathématiques, Jean-Denis Eiden est professeur de Mathématiques Spéciales (MP*) au lycée Fabert à Metz.

Présentation :
Voici les principaux thèmes qui font l’ossature de l’ouvrage, ainsi que le bestiaire que l’on va y côtoyer.

Quelques principes d’Algèbre

• Vecteurs propres et points fixes
• Valeurs propres et théorème de Feuerbach
• Le Nullstellensatz
• Coniques et théorème de Bezout
• Densité algébrique
• Autopolarité et diagonalisabilité
• Théorie de Galois et configurations
• Le birapport
  ◦ Birapport et permutations
  ◦ Birapport, orbites et corps finis
  ◦ La formule des six birapports
• Harmonie, formes quadratiques et trace
• Lien entre GL₂(ℂ) et Sim(3,1)
• La signature
  ◦ Signature et dégénérescence d’une conique
  ◦ Signature et cercles-points
  ◦ Signature et sextangles harmoniques
  ◦ Signature et orhogonalité de cercles
  ◦ Signature et faisceaux de cercles
  ◦ Signature et réseaux de cercles
  ◦ Signature et théorème de Witt

Les grands théorèmes

• Le théorème de Feuerbach
• Le théorème de Pascal pour le cercle
• Le théorème de Pascal barycentrique
• Théorème de Pascal et Géométrie algébrique
• Le théorème de Brianchon
• Le théorème de Carnot
• Le théorème de Ptolémée


Les monstres sacrés

• Points liés à un triangle, et autres vedettes
  ◦ Coordonnées barycentriques des points O, G, Ω, H
  ◦ Coordonnées barycentriques des points I, I_a, I_b, I_c
  ◦ Coordonnées barycentriques des points cycliques
  ◦ Affixes des points O, G, Ω, H
  ◦ Les points de Lucas
  ◦ Le point de Lemoine
  ◦ Les centres isodynamiques
  ◦ Le point de Fermat
  ◦ Le point de Napoléon
  ◦ Le point de Gergonne

• Lieux et ensembles définis géométriquement
  ◦ Cinq points définissent une conique
  ◦ L’axe radical de deux cercles, version algébrique
  ◦ L’axe radical de deux cercles, version géométrique
  ◦ Equation barycentrique du cercle circonscrit
  ◦ Le cercle d’Euler
    ▪ L’axe d’Euler
    ▪ Equation barycentrique du cercle d’Euler
    ▪ Équation complexe du cercle d’Euler
    ▪ L’axe radical des cercles circonscrit et d’Euler
  ◦ La droite de Steiner
  ◦ L’ellipse circonscrite de Steiner
  ◦ L’ellipse inscrite de Steiner
  ◦ L’axe orthique
  ◦ L’hyperbole de Kiepert
  ◦ Arcs capables et cercles d’Apollonius
  ◦ Équations tangentielles et lieux orthoptiques

• Les transformations remarquables
  ◦ L’inversion, analytique ou géométrique
  ◦ L’inversion (ou homologie) harmonique
  ◦ L’isogonalité
    ▪ Comment elle agit sur les foyers
  ◦ L’isotomie
  ◦ La dualité, ou polarisation, «formelle»
  ◦ Le point de Frégier
    ▪ Les involutions de Frégier d’un cercle
    ▪ Application au théorème de Pascal

• Les courbes remarquables
  ◦ Les hyperboles équilatères
    ▪ Hyperboles équilatères et isogonalité
    ▪ Hyperboles équilatères et théorème de Pascal
    ▪ Hyperboles équilatères dans un faisceau tangentiel
  ◦ À la gloire des cercles du plan euclidien

• Les familles de coniques
  ◦ Les faisceaux linéaires de coniques
    ▪ La conique des «neuf» points
  ◦ Les faisceaux tangentiels de coniques
    ▪ Foyers des coniques d’un faisceau tangentiel
  ◦ Les faisceaux (linéaires) de cercles
    ▪ Quelques constructions relatives aux faisceaux
    ▪ L’involution de Désargues
    ▪ Les faisceaux concourants
  ◦ Les réseaux de cercles

• Les configurations remarquables
  ◦ La droite de Simson et l’H₃ de Steiner
    ▪ Droites de Simson passant par un point
  ◦ Une belle figure
  ◦ Une riche cubique
  ◦ Les trois faisceaux d’Apollonius
  ◦ Hyperboles équilatères dans un faisceau tangentiel
  ◦ L’astuce de Morley
  ◦ La configuration de Fermat-Torricelli
  ◦ L’orthologie
  ◦ Les quadrangles harmoniques
  ◦ Les quadrangles équiharmoniques
  ◦ L’alternative de Steiner
  ◦ Les faisceaux concourants
  ◦ La circonscription harmonique

Constructions géométriques

• Paraboles passant par quatre points
• Quatrième point d’intersection de deux coniques
• Tangentes menées d’un point à une conique
• Droites de Simson passant par un point
• Les faisceaux des cercles
  ◦ Cercle d’un faisceau passant par un point
  ◦ Cercle d’un faisceau ayant un centre donné
  ◦ Cercles d’un faisceau tangents à une droite donnée