Ebook: Chtoucas de Drinfeld et Conjecture de Ramanujan-Petersson

L'objet principal de ce livre est la conjecture de Ramanujan-Petersson
sur les corps de fonctions.

Table des matières
Introduction ........................................... 5
Chapitre 1 . D-chtoucas : généralités
1 . - Définitions, structures de niveau. opérations ............... 15
a) Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
b) D-chtoucas à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
c) Structures de niveau en dehors du zéro et du pôle ..... 18
d) Les opérations Frobo, Frob, et * . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
e) Les opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 2
f ) Le morphisme det : Chtb., + ~ht&, ............. 26
2 . - Représentabilité . Lissité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 . - Chtoucas triviaux . Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 . - Correspondances de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
a) Préliminaires ................................. 48
b) Algèbres de Hecke ............................. 49
c) Correspondances de Hecke ....................... 50
d) Sous-champs des points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chapitre II . Chtoucas réductibles . Filtrations de Harder-
Narasimhan
1 . - V-Chtoucas réductibles . Sous-champs d'iceux ............. 59
a) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
b) Les morphismes chtqtr& -+ Chtb,, et
~htsotrz"+ Cht;., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
c) Les morphismes chtqtrD? + ~ht;;; x Spec IF, / Aut E
et chtsotr;: - Spec P, / Aut E x ~htg., ........... 70
d) Les champs Extn., (E. y) et ExtD>, (y. E) ........... 76
2 . - Filtrations canoniques de Harder.Narasimhan . Applications . . 85
a) Pentes . Filtrations canoniques de Harder-Narasimhan . 85
b) Les sous-champs ouverts ~ht"'~'~ .............. 94
c) Les horocycles ............................... 101
Chapitre III . Description adélique des chtoucas . Nombres de
Lefschetz
1 . - Rappels : 9-espaces et F,. modules de Dieudonné. d'après
Drinfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2 . - Description à isogénie près des 2)-chtoucas de rang r sur F, . 110
3 . - Description d'une classe d'isogénies de V-chtoucas ........ 123
4 . - Description des groupoïdes de points fixes ............... 129
5 . - Nombres de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
a) Polygones de Harder-Narasimhan ................ 139
b) DSfinition des nombres de Lefschetz .............. 144
6 . - Expression intégrale des nombres de Lefschetz ............ 147
a) Fonctions de troncature ........................ 143
b) Expression intégrale .......................... 152
c) Transfert pour les termes elliptiques .............. 158
Chapitre IV . Le cas des V-chtoucas de rang r = 1
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - Projectivité 163
2 . - Cohomologie t-adique des schémas ~ht&I/a?" ............ 166
3 . - Généralités sur les représentations admissibles ............ 177
a) Représentations admissibles . Homomorphismes
de traces ................................... 177
b) Corps de rationalité . Corps de définition ........... 182
c) Représentations admissibles des produits tensoriels
d'algèbres .................................. 186
4 . - Calcul des traces . Applications ........................ 191
a) Formules des traces ........................... 191
b) Représentations automorphes ................... 197
c) Représentations e-adiques de rF x rF attachées aux
représentations automorphes .................... 201
d) Représentations e-adiques de rF attachées aux
représentations automorphes .................... 209
Chapitre V . Calcul des nombres de Lefschetz en rang r 2 2
.
Chapitre VI . Formule des traces d'Arthur-Selberg et conjecture
de Ramanujan-Petersson
1. - Rappels sur la décomposition spectrale de Langlands . . . . . . . 2 79
a) Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
b) Degrés . Polygones . Groupes de caractères .......... 280
c) Paires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
d) Séries d'Eisenstein . Opérateurs d'entrelacement ..... 284
e) La décomposition spectrale de Langlands .......... 287
f ) Expression spectrale des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
. Polygones canoniques de Harder-Narasimhan et troncatures
d'Arthur ........................................ 217
a) Petit dictionnaire des adèles et des fibrés .......... 217
b) Polygones et filtrations canoniques de
Harder-Narasimhan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
c) Troncatures par le polygone canonique . Un peu
de combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
d) Conséquences de l'invariance locale . . . . . . . . . . . . . . . 223
e) Conséquences de la compacité du support .......... 225
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transfert 229
a) Traces tronquées d'Arthur et nombres de Lefschetz . . . 229
b) Une fonction de troncature auxiliaire ............. 231
c) Première transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
d) Suite et fin du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
. Le cas où x a plusieurs facteurs premiers distincts ......... 247
a) Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
b) Démonstration du théorème 10 (i) du paragraphe V.2d 253
- Le cas où x est une puissance d'un polynôme irréductible . . . 256
a) Préliminaires sur les sous-groupes de commutateurs
et les intégrales orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
b) Encore une nouvelle fonction de pente maximale ..... 260
c) Introduction d'un facteur de convergence .......... 264
d) Décomposition par classes de conjugaison et par places 268
2 . - La formule des traces d'Arthur-Selberg : le côté spectral . . . . 2 90
a) Une assertion d'intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
b) Démonstration de ladite intégrabilité ............. 292
c) Première transformation des coefficients de Fourier par
échange de deux sommations ................... .298
d) Transformées de Fourier des fonctions de troncature.
Condition de recollement d'Arthur ............... 300
e) Calcul des coefficients de Fourier au moyen de l'isométrie
de Langlands ............................... .304
f ) Enoncé des résultats ......................... .307
3. - Application à la conjecture de Ramanujan-Petersson ........ 310
a) Composantes locales. Valeurs propres des opérateurs
de Hecke ...................................3 10
b) Rappels sur les zéros et pôles des opérateurs
d'entrelacement ............................. .3 12
c) Rappels sur les spectres discrets, d'après Moeglin
et Waldspurger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313
d) Enoncé du théorème principal .................. .314
e) Commencement de la démonstration : Application de
la formule des traces d'Arthur-Selberg, du théorème
des points fixes de Grothendieck-Lefschetz et du théorème
de pureté de Deligne ..................... .316
f) Fin de la démonstration : Identification de la forme des
différents termes dans la formule des traces ......... 319
Bibliographie ......................................... 327