Ebook: Algèbre géométrique

Édition originale publiée sous le titre Geometric Algebra par Interscience Publishers en 1957.
Réimpression de la traduction française publiée par Gauthier-Villars en 1962.


AVANT-PROPOS de Gaston JULIA

On sait depuis longtemps que l’Algèbre et la Géométrie, en certains de leurs chapitres, ne sont que deux aspects différents d’une même vérité, en sorte que tout progrès de l’un amène un progrès de l’autre, et que la présentation abstraite de l’Algèbre s’accompagne de représentations géométriques très suggestives ou d’applications géométriques fructueuses, qui, quelquefois, l’ont même précédée.

Le présent livre est un modèle de cette présentation combinée de l’Algèbre et de la Géométrie, que nous estimons être de la plus haute valeur éducative et de la plus grande utilité dans la recherche : c’est pourquoi nous avons été très heureux de l’accueillir dans notre collection des « Cahiers scientifiques ».

Ce n’est pas un traité complet. On n’y traite que certains chapitres de l’Algèbre, dont l’importance pour la Géométrie et pour l’histoire du développement des Mathématiques modernes, est pourtant fondamentale, et ressort de l’exposé même qu’on va lire.

La méthode de l’auteur est très suggestive. Qu’on lise en effet sa préface ; on y notera deux soucis : un souci de rigueur abstraite qui conviendra toujours à tout exposé d’Algèbre ; un souci d’éveiller des images géométriques comme illustration et application des théorèmes algébriques étudiés. Notre opinion est que ce double souci devrait animer tout ouvrage de Mathématiques.

De son côté, M. Jean Dieudonné, l’éminent algébriste bien connu, exprimait récemment l’espoir que bientôt « le monde mathématique tout entier, et non seulement une poignée de spécialistes, soit mis en état d’apprécier l’ouvrage d’Artin et de le mettre à la place qui lui revient, à côté des célèbres « Grundlagen der Geometrie » de Hilbert ». On ne saurait mieux dire.


====== Table des matières ======

Avant-propos
Préface
Suggestions pour le bon usage de ce livre
Table des matières

Chapitre I — Notions préliminaires
    1. Notions de théorie des ensembles
    2. Théorèmes sur les espaces vectoriels
    3. Etude plus détaillées des homomorphismes
    4. Dualité et couplages
    5. Equations linéaires
    6. Indications pour un exercice
    7. Notions de théorie des groupes
    8. Notions de théorie des corps
    9. Corps ordonnés
    10. Valuations

Chapitre II — Géométrie affine et géométrie projective
    1. Introduction ; les trois premiers axiomes
    2. Dilatations et translations
    3. Construction du corps
    4. Introduction de coordonnées
    5. Géométrei affine sur un corps de base donné
    6. Le théorème de Desargues
    7. Le théorème de Pappus et la loi commutative
    8. Géométrie ordonnée
    9. Points harmoniques
    10. Le théorème fondamental de la géométrie projective
    11. Le plan projectif

Chapitre III — Géométrie symplectique et géométrie orthogonale
    1. Structures métriques sur les espaces vectoriels
    2. Définitions des géométries orthogonale et symplectique
    3. Traits communs des géométries orthogonale et symplectique
    4. Traits particuliers à la géométrie orthogonale
    5. Traits particuliers à la géométrie symplectique
    6. Géométrie sur les corps finis
    7. Géométrie sur les corps ordonnés. Le théorème de Sylvester

Chapitre IV — Le groupe linéaire général
    1. Déterminants non commutatifs
    2. La structure de GL_n(k)
    3. Espaces vectoriels sur les corps finis

Chapitre V — La structure du groupe symplectique et du groupe orthogonal
    1. Structure du groupe symplectique
    2. Le groupe orthogonal d’un espace euclidien
    3. Espaces elliptiques
    4. L’algèbre de Clifford
    5. La norme spinorielle
    6. Les cas où dim V ⩽ 4
    7. La structure du groupe Ω(V)

Bibliographie et suggestions pour des lectures complémentaires
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