Ebook: Autour de l'Approximation Semi-Classique

Non-relativistic quantum mechanics was founded on the
correspondence principle of Bohr: "When the Planck constant h
can be considered small in respect to the other parameters such as
masses and distances, quantum theory approaches classical theory
(Newtonian mechanics)."
This book gives a mathematical description of Bohr's principle that
is based on modern ideas from partial differential equations
theories: pseudodifferential and Fourier-integral operators,
microlocal analysis, and functional analysis.
The core of this work consists of an exposition of recent global
results by B. Helffer and D. Robert. It is a precise study of the
quantum dynamics by the B.K.VV. method with application to the
semi-classical approximation of the discrete energy levels for the
Schrodinger Hamiltonian.
This book can be used as a graduate-level text for students in
partial differential equations and mathematical physics, and is a
valuable resource for teachers and researchers in theoretical physics
and mathematical analysis as well.

PLAN
Introduction aux principes de la mécanique
quantique non relativiste.
§1- Aperçu historique et données expérimentales. . . 1
§2- Le principe d'incertitude de Heisenberg... 9
§3- Quantification 14
§4- Equation de Schrodinger et principe de
correspondance 24
II: Opérateurs h-admissibles.
§1- Introduction 38
§2- Une classe générale d'opérateurs intégraux
de Fourier 4 0
§3- Opérateurs h-admissibles, premières propriétés.. 52
§4- Calcul symbolique sur les opérateurs
h-admissibles 60
§5- Théorèmes de Continuité et de Compacité... 82
§6- Quelques compléments sur la quantification
de Weyl 109
III: Calcul fonctionnel sur les opérateurs
h-admissibles.
§1- Préliminaires 121
§2- Une classe d'opérateurs h-admissibles
essentiellement autoadjoints 129
§3- Résolvantes et puissances complexes d'opérateurs
h-admissibles 134
§4- Calcul fonctionnel et premières applications.. 142
- Opérateurs essentiellement autoadjoints... 152
- Spectre essentiel 169
IV: Trajectoires classiques et évolution quantique.
§1- Notions sur la représentation de Heisenberg
de la mécanique quantique 186
§2- Fonctionnelles admissibles 189
§3- Systèmes hamiltoniens 198
§4- Propagation du support essentiel 202
§5- L'équation de Hamilton-Jacobi 210
§6- Etude du groupe unitaire e~ ' .... 216
V: Propriétés semi-classiques du spectre discret.
§1- Rappels sur la méthode de la phase stationnaire. . . 246
§2- Relation de Poisson semi-classique 248
§3- Etude de S?(t) en t = 0 256
§4- Répartition asymptotique des valeurs propres. 263
Problèmes et compléments 270
Commentaires et notes bibliographiques 307
Bibliographie 317
Epilogue 329