Ebook: Теория интеграла

Убитый в варшавском гестапо в ноябре 1942 г. Станислав Сакс принадлежал к числу наиболее выдающихся польских
математиков. Его книга, предлагаемая в русском переводе советским читателям, представляет собой одно из лучших в зарубежной литературе краткое и в то же время весьма исчерпывающее изложение основных разделов современной теории функций действительных переменных. В соответствии с потребностями функционального анализа, теории динамических систем и теории вероятностей книга начинается главой, содержащей на 38 страницах изложение общей теории интеграла Лебега Г/Ф с произвольной мерой (т. е. вполне аддитивной неотрицательной функцией множеств) |х, заданной на произвольном, вполне аддитивном, семействе множеств. Здесь, в частности, доказывается основная для всей этой теории теорема Радона — Никодима (§ 14), по поводу которой ранее приходилось обращаться к журнальной литературе. Логически к этой же первой главе примыкают § 8 главы второй (где доказывается, в весьма общих предположениях, теорема Фубини) и приложение 2, принадлежащее перу покойного львовского математика Стефана Банаха. Главы II, III и IV содержат теорию меры и интеграла Лебега в метрических пространствах, эвклидовом пространстве любого числа измерений и специально на числовой прямой. К этим главам примыкает приложение 1, также написанное С, Банахом, посвященное мерам, удовлетворяющим требованию равенства мер для конгруэнтных множеств. Изложенные здесь результаты, принадлежащие самому Банаху, содержат в себе как частный случай основную теорему Хаара о мерах в группах. Перечисленными четырьмя главами заканчивается, так сказать, „общая часть" книги. Изложенный в них материал кроме некоторых деталей нужен и интересен каждому современно образованному математику. От этой общей части теории интегрирования можно двигаться в разных направлениях. Автор книги, в соответствии со своими собственными научными интересами, выбрал два таких направления: свойства функций двух переменных и теория площадей поверхностей (главы V и IX) и теорию интегралов Перрона и Данжуа (главы VI, VII,
VIII, IX). В обоих этих направлениях много сделано советскими математиками, и автор книги в ряде параграфов излагает результаты Лузина, Хинчина, Александрова, Степанова. Книгу нельзя рекомендовать для первого ознакомления с идеями интегрирования по Лебегу, так как неподготовленный читатель за чрезмерно общими формулировками не рассмотрит их богатого конкретного содержания. Но для лиц, уже знакомых с элементарным курсом теории функций действительного переменного, книга Сакса явится чрезвычайно ценным пособием.
Текст автора переведен без каких-либо изменений. Лишь в § 8 главы пятой пропущена одна теорема, оказавшаяся
ошибочной*. Перевод настоящей книги выполнен И. С. Березиным (главы I, II, V, VI, VII, VIII), Б. М. Будаком (гл. IV, IX) и Л. А. Гусаровым (гл. III).