Ebook: Tổng hợp các bài toán PT - HPT trong đề thi HSG 2010 - 2011

Tổng hợp các bài toán PT - HPT trong đề thi HSG 2010 - 2011
Nhằm cung cấp cho các bạn một tài liệu tham khảo về PT - HPT mang tính thực tiễn bao gồm các bài toán đã được dùng làm đề thi chọn HSG của các trường, các tỉnh, đề chọn đội tuyển năm học 2010-2011, mình đã dành thời gian tổng hợp lại các bài toán liên quan, giải ra và đưa ra một số nhận xét liên quan đối với các bài toán nổi bật. Không dừng lại ở mong muốn gửi đến các bạn những lời giải chi tiết, đầy đủ, mục đích của tài liệu này còn là đưa ra các gợi mở, các kinh nghiệm cần thiết khi tiếp xúc với dạng Toán khá quen thuộc và cũng khá thú vị này.
Tổng hợp từ khoảng 50 đề thi các nơi được gửi lên diễn đàn với 70 bài toán được sắp xếp một cách tương đối theo mức độ khó - dễ và cùng dạng, mình cũng tham khảo thêm lời giải và gợi ý của nhiều thầy cô, các bạn học sinh để đưa ra lời giải phù hợp.
Do thực hiện trong thời gian hơi ngắn và với khối lượng tính toán hơi lớn nên có thể vẫn còn nhiều sai sót, mong được các bạn góp ý để tài liệu có thể hoàn chỉnh hơn.
Mong rằng "Các bài toán PT - HPT thi HSG 2010 - 2011" này sẽ giúp ích được các bạn trong việc rèn luyện, ôn tập, chuẩn bị cho các kì thi HSG.

Trong file lời giải trên mình xin đính chính lại lời giải của đề HSG Sào Nam, Quảng Nam như sau:

Giải phương trình: $2010^x (sqrt{x^2+1}-x)=1$.
Ta có:
$2010^x (sqrt{x^2+1}-x)=1 Leftrightarrow 2010^x=sqrt{x^2+1}+x Leftrightarrow 2010^{-x}=sqrt{x^2+1}-x$
Trừ từng vế hai PT vừa biến đổi trên để khử căn, ta được:
$2010^x-2010^{-x} = 2x$.
Xét hàm số $f(x) = 2010^x-2010^{-x} -2x$, ta có:
$f'(x) = (2010^x+2010^{-x}). ln{2010} -2 >0$ nên là hàm đồng biến, mà $f(0)=0$ nên PT $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất là $x=0$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=0$.

Lời giải trong file trên chưa chứng minh được $f'(x)> 0, x in (-frac{1}{2}, 0)$.