Ebook: Introduction à l'analyse complexe. Fonctions de plusieurs variables

Ce deuxième tome est consacré à l'analyse complexe des fonctions de plusieurs variables. Il expose les principaux fondements de la théorie : des travaux classiques de Poincaré et Hartogs à certains résultats acquis ces dernières décennies. Développe les notions fondamentales d'analyse, de topologie et de géométrie algébrique utilisées.Renferme des problèmes liés à la complexification de l'espace - temps de Minkowski et, en particulier, un exposé élémentaire de la méthode des twisteurs de Penrose sur l'exemple de la résolution de l'équation de Maxwell. Pour les étudiants et élèves du troisième cycle en mathématiques, mécanique et physique.

Cet ouvrage expose les bases de l'analyse complexe multidimen­sionnelle, i.e. la théorie des fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes, des applications holomorphes et des sous-varié- tés de l'espace complexe. Certaines des idées à peine esquissées dans la première partie sont développées jusqu'à la fin.

L'analyse complexe multidimensionnelle est une science bien plus jeune au regard de l'analyse complexe à une dimension. Si l'on fait exception des travaux de G. Jacobi (1830 et 1857) et de M. Di- don (1873) qui mettent en jeu des fonctions de deux variables com­plexes et des intégrales de ces fonctions ainsi que des travaux de Ch. Hermite (1852) et J. Sylvestre (1854 et 1857) consacrés à la résolution de systèmes d'équations non linéaires à plusieurs inconnues, l'origine de l'analyse complexe multidimensionnelle remonte à l'année 1879, date à laquelle apparaît le travail de K. Weierstrass Certains théorè­mes relatifs à la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables. L'autre fondateur de l’analyse complexe multidimensionnelle est Henri Poincaré (1854-1912) qui en 1883 publia un travail dans lequel il prouvait qu’une fonction localement rationnelle de deux variables est le rapport de deux fonctions entières (ce résultat fut généralisé aux fonctions d'un nombre arbitraire de variables en 1895 par son disciple P. Cousin). La même année il entreprit l'étude, en commun avec E. Picard, des sous-variétés algébriques de l'espace complexe. En 1886 et 1887 Poincaré étendit le théorème fondamental de Cauchy aux fonctions de deux variables et jeta les bases de la théorie multi­ dimensionnelle des résidus.

L'analyse complexe multidimensionnelle a commencé à s'épanouir au début du siècle. En 1907 Poincaré publie un travail qui préludait à l'étude des applications biholomorphes de domaines de l’espace complexe. Les recherches de F. Hartogs sur le prolongement analyti­que des fonctions de plusieurs variables ainsi que celles de E. Levi datent de la même époque.
Mais par la suite et pour une période assez durable les problèmes multidimensionnels de l'analyse complexe sont boudés par les mathématiciens à l'exception d'une petite caste de spécialistes de la théorie des fonctions complexes.

Un tournant décisif s’opéra dans les années 60: les problèmes multidimensionnels commencent à attirer l’attention des mathéma­ticiens et des physiciens. L ’une des raisons réside probablement dans les travaux effectués par E. Cartan, K. Oka et autres pour établir un lien entre les problèmes de l’analyse complexe multidimensionnel­ le et l’algèbre, la topologie et la géométrie algébrique. Une autre rai­ son est à chercher dans les applications de la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes à la théorie quantique du champ découvertes parM. Bogolioubov, V. Vladimirov, R. Jost et A. Weit- man dans les années 50.

L’analyse complexe multidimensionnelle entre dans une nouvelle phase de son épanouissement, une phase qui dure encore. Les résultats aussi bien classiques que nouveaux ont trouvé d’innombrables applications en analyse, en géométrie différentielle et algébrique et particulièrement en physique mathématique. La maîtrise des élé­ments de l’analyse complexe multidimensionnelle est devenue une nécessité pour les spécialistes de nombreuses branches mathémati­ques.

Cet ouvrage a son origine dans les cours spéciaux de théorie des fonctions et d’analyse fonctionnelle faits à l’Université d’Etat de Moscou. Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mes amis et mes élèves dont les judicieux conseils m’ont beaucoup aidé dans la préparation de cet ouvrage.