Ebook: Курс лекций по математическому анализу

Учебное пособие. — Самара: Самарский государственный аэрокосмический университет, 2011. — 93 с.Пособие представляет собой опорный курс лекций. Основными понятиями математического анализа являются понятия производной и интеграла. Для того чтобы сформулировать понятия производной и интеграла в достаточно универсальном виде, с применениями к возможно более широкому классу функций, этим понятиям предшествуют теория вещественных чисел, теория пределов, теория непрерывных функций.
Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров направления 010400.62, «Прикладная математика и информатика», изучающих дисциплину «Математический анализ» в 1 и 2 семестрах.Содержание
Введение в математический анализ
Некоторые понятия математической логики
Множества. Операции над множествами
Множество вещественных чисел
Числовая последовательность. Ограниченные и неограниченные последовательности
Монотонные последовательности
Число е
Предел функции в точке
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
Дифференциальное исчисление
Производная функции, ее геометрический и физический смысл
Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции
Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции
Производная обратных функций
Понятие о дифференциале функции. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
Формула Тейлора. Формула Маклорена
Теоремы о производных
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Производные и дифференциалы высших порядков. Общие правила нахождения производных высших порядков
Исследование функций с помощью производной
Интегрирование
Первообразная и неопределѐнный интеграл
Таблица основных интегралов
Способ подстановки (замены переменных). Интегрирование по частям
Интегрирование элементарных дробей
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование биноминальных дифференциалов
Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции
Понятие определѐнного интеграла
Свойства определенного интеграла
Теорема Ньютона-Лейбница
Замена переменных. Интегрирование по частям
Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами. Интеграл от разрывной функции
Приложения определенного интеграла
Числовые и функциональные ряды
Числовые ряды. Основные определения
Свойства числовых рядов
Критерий Коши. Сходимость рядов с неотрицательными членами
В следующих параграфах рассмотрим некоторые основные признаки, используемые при исследовании рядов на сходимость
Признак сравнения числовых рядов с неотрицательными членами
Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера
Радикальный и интегральный признаки Коши
Знакопеременные числовые ряды. Признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся числовых рядов
Функциональные последовательности
Функциональные ряды
Свойства равномерно сходящихся рядов
Понятие степенного ряда
Теоремы Абеля
Разложение функций в степенные ряды
Библиографический список