Ebook: Функциональный анализ

Учебное пособие. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. — 167 с.
Настоящее учебное пособие представляет собой курс лекций по функциональному анализу в той форме и в том объёме, в котором он читается студентам факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета им. В.В. Куйбышева. В нём содержится изложение теории интеграла Лебега, метрических пространств и линейных операторов в метрических пространствах.
Пособие рассчитано в основном на студентов ФПМК, но может быть полезно студентам других физико-математических факультетов, желающим овладеть терминологией и методами функционального анализа.Теория интеграла Лебега.
Полукольцо, кольцо, алгебра.
Операция над множествами.
Пределы последовательностей множеств.
Классы множеств.
Полукольцо множеств.
Алгебра.
Мера множеств.
Продолжение меры с полукольца на кольцо.
Измеримые функции.
Борелевская прямая.
Функция.
Измеримые функции.
Сходимость последовательности функций.
Структура измеримых функций.
Интеграл Лебега.
Определение интеграла Лебега.
Интеграл Лебега как функция множества.
Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Мера на прямом произведении пространств.
Кратные интегралы Лебега.
Производная. Интеграл Стилтьеса.
Заря.
Производная Радона—Никодима.
Разложение меры.
Монотонные функции.
Функции с ограниченной вариацией.
Интеграл Стилтьеса.
Передельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.
Функциональный анализ.
Метрические пространства.
Метрические пространства.
Замкнутые и открытые множества.
Сходимость в метрических пространствах.
Пополнение метрических пространств.
Принцип сжимающих отображений.
Линейные пространства.
Выпуклость.
Линейные нормированные пространства (банаховы пространства).
Гильбертовы пространства.
Ряды Фурье.
Характеризация гильбертовых пространств.
Сопряжённое пространство.
Общий вид линейных функционалов в некоторых пространствах.
Обобщённые функции.
Линейные операторы.
Пространство операторов.
Линейные операторы в банаховых пространствах.
Обратный оператор.
Сопряжённый оператор.
Спектр самосопряжённого оператора.
Ортогональное разложение.
Операторы с точечным спектром.
Компактные множества и компактные операторы.
Литература.