Ebook: Методы математической физики

Практикум / В.А. Треногин, И.С. Недосекина. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2012. – 196 с.
Практикум знакомит с методами решения нескольких важных задач математической физики. Математическая физика занимается изучением математических моделей, описывающих разнообразные физические явления в основном в форме тех или иных задач для дифференциальных уравнений (ДУ) с частными производными. При этом обычно оказывается, что одна и та же математическая задача описывает сразу несколько, казалось бы, далеких друг от друга явлений. В данном практикуме рассмотрены несколько наиболее важных классических задач математической физики, опираясь на простейшие соображения математического и функционального анализа и линейной алгебры. Практикум составлен на основе семестрового курса лекций, которые на протяжении многих лет читаются авторами студентам МИСиС, обучающимися по ряду физико-химических специальностей и специальности «Прикладная математика». Первая часть начинается с изложения метода Фурье в применении к решению задач математической физики в пространственно ограниченных областях, который трактуется не как традиционный метод разделения переменных, а как более простой, на наш взгляд, геометрический метод разложения параметров задачи по некоторому базису – ортогональной системе собственных функций вспомогательного дифференциального оператора. Полученный в качестве решения функциональный ряд назван формальным решением задачи. Определенное внимание уделяется и таким важным вопросам теории, как классическое решение, его единственность, принцип максимума и энергетические соображения. При построении базиса из собственных функций используются такие простейшие понятия функционального анализа, как симметричность и неотрицательность линейных операторов в пространстве со скалярным произведением, а также свойства собственных значений и собственных функций таких операторов. Этот подход не только позволяет лучше понять структуру решения, но и существенно сократить вычисления. Вторая часть посвящена задачам в пространственно неограниченных областях, для построения решений которых использован метод интегрального преобразования Фурье. Здесь же рассматриваются и другие важные для современного инженера-исследователя методы, например, метод подобия.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством решенных задач. В конце соответствующих разделов приведены задачи для самостоятельной работы. Это позволяет использовать данный материал при проведении практических занятий.