Ebook: Высшая математика: Математический анализ и дифференциальные уравнения

Учебно-практическое пособие. — Мн: БГЭУ, 2005. — 189 с.Пособие специально создано для заочной формы обучения. Основная цель пособия - дать общий, доступный и запоминающийся очерк основных положений и результатов, который бы легко читался и усваивался. Исчерпывающее и очень доступное изложение материала.Для лучшего усвоения материала вся теория разбирается на конкретных примерах. После теории предложены 77 тренировочных заданий с подробными решениями.Содержание:
Теория пределов.
Числовые последовательности.
Числовые последовательности, их виды и арифметические операции над ними.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и связь между ними.
Свойства бесконечно малых последовательностей.
Сходящиеся последовательности.
Определение предела последовательности.
Свойства сходящихся последовательностей.
Предел и непрерывность функции .
Понятие функции одной переменной.
Определение функции. Элементарные функции.
Свойства функции одной независимой переменной.
Некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике.
Предел функции.
Понятие предела функции в точке.
Теоремы о пределах функций.
Замечательные пределы.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Сравнение бесконечно малых функций.
Раскрытие неопределенностей.
Непрерывность функции.
Непрерывность функции в точке и на множестве.
Арифметические операции над непрерывными функциями.
Непрерывность сложной и обратной функции.
Точки разрыва функции и их классификация.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной .
Производная.
Понятие производной функции в точке. Односторонние и бесконечные производные.
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Угол между двумя кривыми.
Физический смысл производной.
Непрерывность дифференцируемой функции.
Основные правила дифференцирования.
Таблица производных основных элементарных функций.
Производная степенно-показательной функции.
Примеры вычисления производных.
Производная неявной функции.
Дифференциал.
Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы для дифференцируемых функций.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Исследование функций с помощью производных.
Условия постоянства, возрастания и убывания функций.
Необходимые и достаточные условия экстремума функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Выпуклость и вогнутость графика функции.
Асимптоты графика функции.
Общая схема исследования функций и построения графиков.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Предел и непрерывность функций многих переменных.
Понятие функции многих переменных.
Геометрическая иллюстрация функции двух переменных.
Предел функции двух переменных в точке.
Непрерывность функции двух переменных.
Дифференцируемость функции многих переменных.
Частные производные.
Дифференцируемые функции .
Полный дифференциал функции многих переменных.
Приложение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
Производные высших порядков.
Экстремум функции многих переменных.
Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия экстремума.
Метод наименьших квадратов.
Понятие эмпирической формулы.
Выравнивание экспериментальных данных по прямой.
Выравнивание экспериментальных данных по параболе.
Выравнивание экспериментальных данных по гиперболе.
Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл.
Определение первообразной и неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Непосредственное интегрирование. Поднесение под знак дифференциала.
Основные методы интегрирования.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций.
Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла.
Необходимое условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций.
Свойства определенного интеграла.
Существование первообразной у непрерывной функции. Теорема Барроу. Формула Ньютона—Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Площадь плоской фигуры.
Объем тела вращения.
Длина дуги плоской кривой.
Приложения определенного интеграла в экономике.
Расчет объема продукции.
Расчет средних значений.
Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
Несобственные интегралы от неограниченных функций .
Дифференциальные уравнения.
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения.
п-го порядка и его решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Понятие дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Постановка задачи Коши и понятие общего решения.
для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Свойства решений линейных однородных уравнений.
Решение однородных линейных уравнений второго.
порядка с постоянными коэффициентами.
Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Ряды .
Числовые ряды.
Понятие числового ряда и его сходимости.
Простейшие свойства сходящихся рядов.
Необходимый признак сходимости ряда и его следствие.
Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Степенные ряды.
Понятие функционального ряда и его области сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды.
Вопросы для повторения и тренировочные задания .
Вопросы к экзамену.
Литература.
Смотри также:
Дымков М. П., Шилкина Е. И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия