Ebook: Лекции по математике.Т. 16: Теория множеств: От Kaнтора до Коэна

М.: Книжный дом «Либроком», 2011. — 208 с.Настоящий том «Лекций» посвящен теории множеств в диапазоне от наивной трактовки проблематики до ее современного (аксиоматического) состояния. Наряду с простейшими понятиями и результатами о манипулировании бесконечностями рассматриваются довольно тонкие феномены: парадокс Банаха-Тарского, кардинальная и ординальная арифметика, базисы Гамеля. Излагаются и обсуждаются также элементы матлогики, теории моделей и их связь с аксиоматическим подходом к теории множеств.
Изложение отличается краткостью и прозрачностъю.
Для студентов, преподаватедей, инженеров и научных работников.Предисловие к «Лекциям»
Предисловие к шестнадцатому тому
Справочная
Теоретико-множественные операции
Алгебраические мотивы
Упорядоченность и эквивалентность
Логические инструменты
Кантор и бесконечность
Откуда берутся множества
Феномен мощности
Канторово множество и гипотеза континуума
Манипулирование бесконечностями
Реализованная бесконечность
Губительна ли наивность
Аксиоматика Цермело-Френкеля
Отступление
Проблема аксиоматизации вообще
Система ZFC
Взаимодействие с логикой
Натуральный ряд и арифметика Пеано
Универсумы фон Неймана и Гёделя
Аксиома выбора
Концепция Всевидящего Ока
Теорема Цермело и трансфинитная индукция
Парадокс Банаха-Тарского
Вопросы правдоподобия
Аксиома детерминированности
Ординалы и кардиналы
Статус-кво
Кардинальная арифметика
Ординалы
Ординальная арифметика
Лемма Цорна и как она работает
Базисы Гамеля
Теорема Гудстейна
Вычислимость и доказуемость
Вычислимые функции
Перечислимые и разрешимые множества
Диофантовы множества
Неполнота арифметики
Феномен неаксиоматизируемости
Непротиворечивость аксиоматики
Проблема арифметичности
Универсальные функции
Теорема Райса
Когда ложь так же хороша, как правда
Модели и теории
Логика первого порядка
Теории и модели
Семантика и формализм
Исчисление предикатов
Полнота исчисления предикатов
Полные и неполные теории
Теоремы компактности
Теоремы Лёвенгейма-Сколема
«Парадоксы» и сюрпризы
Универсумы ZF и форсинг
Имеет ли ZF модель
Конструктивный универсум Гёделя
Метатеоретические трансформации
Аксиома конструктивности
Пермутационные модели
Расширение моделей
Форсинг и теоремы Коэна
Булевозначный анализ
Метафизическая
Вселенная как модель
Феномен познания
Бесконечное
Приложения
Вещественные числа
Гипотеза Суслина
Алгебраические поля
Булевы алгебры
Конструктивизм
Мера Лебега
Измеримые функции
Множества Витали и Бернштейна
Категории Бэра
Сокращения и обозначения
Литература
Предметный указатель