Ebook: Лекции по методам вычислений: метод конечных элементов

Конспект лекций семестрового курса «Методы вычислений: метод конечных элементов», прочитанных для студентов третьего курса механико–математического факультета Новосибирского государственного университета. Основой конспекта является книга профессора Ю. М. Лаевского «Метод конечных элементов (основы теории, задачи)».
57 страниц
Содержание:
Лекция
1. Гильбертовы пространства и уравнения в них
Предгильбертово пространство
Пополнение предгильбертова пространства до гильбертова
Линейный функционал
Линейный оператор
Энергетическое пространство
Операторная и проекционная формулировки задачи
Вариационная формулировка задачи А
Лекция
2. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка
Положительная определенность оператора
Положительная определенность оператора
Положительная определенность оператора
Лекция
3. Формулировки эллиптических краевых задач
Однородная краевая задача Дирихле:
Операторная формулировка:
Энергетическое пространство оператора :
Проекционная формулировка:
Однородные вторая и третья краевые задачи
Операторная формулировка:
Энергетическое пространство оператора :
Проекционная формулировка:
Лекция
4.
Приближенная задача
Лемма Вишика–Сеа
Число обусловленности матрицы жесткости
Лекция
5. МКЭ в одномерном случае
Двухточечная краевая задача
Подпространство кусочно–линейных восполнений
Подпространство кусочно–лагранжевых восполнений
Лекция
6. МКЭ в одномерном случае (продолжение)
Базис в подпространстве кусочно–лагранжевых восполнений
Система сеточных уравнений метода Галеркина в подпространстве кусочно–лагранжевых восполнений
Число обусловленности матрицы
Лекция
7. МКЭ в одномерном случае (окончание)
Вычисление компонент вектора
Вычисление элементов матрицы
Разрешимость задачи при приближенном вычислении интегралов
Оценка
Обусловленность матрицы
Лекция
8. МКЭ в многомерном случае
Триангуляция области
Невырожденный –мерный симплекс
Разбиение невырожденного 2–мерного симплекса
Разбиение невырожденного 3–мерного симплекса
Лекция
9. МКЭ в многомерном случае: кусочно–линейные восполнения на триангуляциях
Линейное восполнение на треугольнике
Оценка точности линейной интерполяции
Система сеточных уравнений метода Галеркина в подпространстве кусочно–линейных восполнений для первой краевой задачи:
Лекция
10. МКЭ в многомерном случае (продолжение)
Число обусловленности матрицы жесткости
Лекция
11. МКЭ в многомерном случае (пример)
Лекция
12. МКЭ в многомерном случае (пример, метод Фурье)
Собственные функции (векторы) и числа оператора задачи (1):
Разложение по базису
Реализация формулы (3)
1 шаг – вычисление .
2 шаг – вычисление
3 шаг – вычисление
Быстрое дискретное преобразование Фурье