Ebook: Transformations birationnelles de petit degré

Depuis la fin du XIX^e siècle on sait que toute transformation birationnelle du plan projectif complexe dans lui-même, encore appelée transformation de Cremona, s'écrit comme la composée de transformations birationnelles quadratiques; ceci a motivé notre travail qui porte essentiellement sur ces transformations. Nous établissons des propriétés de type algébriques comme la classification des groupes à un paramètre de transformations de Cremona quadratiques ou encore la lissité de l'espace des transformations birationnelles de degré 2 dans l'espace des transformations rationnelles: ceci nécessite une étude détaillée de l'action de (PGL_3(C))^2 sur cet espace. On peut aussi voir qu'un nombre fini de transformations de Cremona quadratiques choisies génériquement engendrent un groupe libre. Par ailleurs nous montrons que si f est une transformation birationnelle de degré 2 ou un automorphisme non trivial du plan projectif complexe, le sous-groupe normal engendré par f est le groupe des transformations de Cremona tout entier; nous en déduisons que ce groupe est parfait. Nous démontrons aussi des propriétés de nature dynamique: en suivant une idée de Guillot nous implantons aux transformations birationnelles de degré 2 des invariants propres aux feuilletages ce qui nous permet par exemple d'obtenir l'énoncé suivant: si deux transformations de Cremona quadratiques génériques sont birationnellement conjuguées, elle le sont linéairement; nous nous intéressons aussi à la présence ou non « d'objets invariants » : courbes, feuilletages, fibrations. Nous étudions aussi les transformations de Cremona cubiques; en considérant les différentes configurations possibles de courbes contractées nous en donnons « la classification ». Ceci nous permet de montrer que l'ensemble des transformations birationnelles exactement de degré 3 est irréductible, et en fait rationnellement connexe.