Ebook: Introduction à la théorie de Galois

La théorie de Galois est née au XIXe siècle pour étudier
l'existence de formules pour les solutions d'une équation
polynomiale (en fonction des coefficients de l'équation). Cette
théorie, à la fois puissante et élégante, fut à l'origine d'un pan
entier de l'algèbre moderne, et a depuis connu un
développement considérable. Elle demeure un sujet de
recherche extrêmement actif. L'objet de ce cours est dans un
premier temps d'introduire les bases et outils d'algèbre
générale (groupes, anneaux, algèbres, quotients, extensions de
corps...) qui permettront dans un deuxième temps de
développer la théorie de Galois, ainsi que certaines de ses
applications les plus remarquables. Au-delà de l'intérêt propre
du sujet, le cours se veut être une bonne introduction à
l'algèbre et à ses diverses applications, tant en mathématiques
que dans d'autres disciplines (informatique avec les corps
finis, physique ou chimie avec la théorie des groupes par
exemple). Ainsi, aucun prérequis n'est nécessaire. Ce livre est
issu d'un cours donné à l'Ecole polytechnique par le second
auteur, puis par le premier. Un des points importants de ce
cours est la méthode de réduction modulo p pour le calcul des
groupes de Galois, traitée dans ce livre. Le livre contient
également un recueil de sujets d'examen donnés aux élèves
polytechniciens, accompagnés de leurs corrigés.